Диофантово уравнение

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Диофа́нтово уравнение или уравнение в целых числах — это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения.

Содержание

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения: ax + by + … + cz = d. В литературе под диофантовыми уравнениями понимаются также уравнения более частного вида (с двумя неизвестными): ax + by = c (1), которые достаточно хорошо изучены. Рассмотрим такие уравнения более подробно. Если (a,b) \nmid c (то есть c не делится нацело на НОД(a,b)), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, в этом случае (a,b) \ne 1, но тогда число, стоящее слева в (1) делится на (a,b), а стоящее справа — нет. Если в уравнении ax + by = 1 (a,b) = 1, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть (x0,y0) — решение уравнения ax + by = c. Тогда все его решения находятся по следующим формулам: x = x0 - bn, y = y0 + an,n \in\mathbb{Z}.

при (a,b,…,c)=1, корни общего уравнения находятся методом подборки : a(x0)+b(y0)+…+c(z0)=1 (*)

далее домножаем (*) на d и получаем искомые корни : x0d, y0d, … , z0d.

Некоторые другие уравнения

  • xn + yn = zn:
  • x2ny2 = 1 — уравнение Пелля
  • = 0naixiyni = c
    i
    при n\ge 3 и c\ne 0 — уравнения Туэ

Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных диофантовых уравнений. В 1970 Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home