Логнормальное распределение

Логнормальное
Плотность вероятности

μ=0
Функция распределения

μ=0
Параметры \sigma \ge 0
-\infty \le \mu \le \infty
Носитель x \in [0; +\infty)\!
Плотность вероятности \exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.
Функция распределения \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]
Математическое ожидание e^{\mu+\sigma^2/2}
Медиана eμ
Мода e^{\mu-\sigma^2}
Дисперсия (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
Коэффициент асимметрии e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
Коэффициент эксцесса e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6
Информационная энтропия \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{matrix} \right.,

где \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}. Тогда говорят, что X имеет логнормальное распределение с параметрами μ и σ. Пишут: X˜LogN(μ,σ2).

Моменты

Формула для k-го момента логнормальной случайной величины X имеет вид:

\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}},
\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}.

Свойства логнормального распределения

  • Если X_1,\ldots, X_n - независимые логнормальные случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{LogN}(\mu, \sigma_i^2), то их произведение также логнормально:

Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right).

Связь с другими распределениями

  • Если X˜LogN(μ,σ2), то
Y = lnX˜N(μ,σ2).
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home