Фундаментальная последовательность

Последовательность точек метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для любого \varepsilon > 0 существует такое натуральное N_\varepsilon, что

\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ для всех n, m > N_\varepsilon.

Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной (условие Коши). Обратное верно только для полных пространств, в частности для вещественных чисел.

Доказательства

Критерий Коши

Пусть некая последовательность {xn} удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две - a1 и a2. Тогда возьмём \varepsilon = (1/3) * |a1 - a2|. Начиная с некоторого n, все элементы последовательности должны будут находиться в одной из \varepsilon-окрестностей предельных точек (каждая точка при n>N будет находиться либо в одной, либо в другой окрестности), а значит, на расстоянии больше чем \varepsilon друг от друга, что противоречит критерию Коши.

Условие Коши

Пусть теперь, наоборот, последовательность сходится. Тогда, начиная с некоторого N, (|xn| - a) < \varepsilon и (|xm| - a) < \varepsilon, а стало быть, |xm - xn| <= |(xm - a) - (xn - a)| <= |(xm - a)| - |(xn - a)| < 2\varepsilon, а значит, последовательность по определению фундаментальна.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home