Система физических величин Н. А. Плотникова

Система физических величин Плотникова Н.А. (СФВ) — классификация физических величин или физических операторов, позволяющая выявить их зависимость от геометрии пространства-времени и фундаментальных физических констант в виде дифференциальных уравнений. Система разработана русским физиком Николаем Александровичем Плотниковым в 19721978 годы на основании общих физических закономерностей и является их графическим выражением.

Содержание

История СФВ

В семнадцатом веке Рене Декарт определяет и создает метод трехмерного измерения введением пространственных координат X,Y,Z, на основе которого развил начала аналитической геометрии.

В начале двадцатого века Альберт Эйнштейн к пространственной системе координат предложил добавить временную координату t.

Около 1930 года Габриэль Крон [8] формулирует свою теорию и пишет книгу "Тензорный анализ сетей". Крон изучает сети электрических машин и старается использовать тензорный анализ и достижения топологии того времени. Хотя в работах Крона рассматриваются модели электрических машин, Крон отмечает возможность применения подобного математического аппарата для расчета иных видов физических систем.

В середине двадцатого века учёными производится поиск систематизации законов природы в пространственно-временных координатах, результатами которого были расположение физических величин механики-гравитации в системе единиц СГС без учета математического анализа поля и возможности применения одной математической модели для нескольких физических процессов различной природы (синергетизма / аналогии /).

Таким известными учёными и инженерами были Р.О. ди Бартини и Кузнецов П. Г [6,7]. Изучение этого вопроса и привело их к кинематической системе физических величин, предложенной ди Бартини. Эта кинематическая система физических величин использует в качестве основных размерных величин только две: длину [L] и время [T]. Все остальные физические величины, включая массу, считаются производными от этих двух основных и представляются в виде произведений различных степеней [L] и [T].

Система Р.О. ди Бартини освещает (дает описание) модели системы с точки зрения физики. А работы Габриэля Крона содержат предложения по математическому описанию физических систем.

В 1978 году Плотников Николай Александрович [5] публикует, созданную им, Систему Физических Величин (СФВ). Она основана на системе единиц СИ. СФВ использует пространственно-временную систему координат и дополнительную ось фундаментальных физических постоянных /ф.ф.п./

В статье 1981 года Дешамп [4] помещает два графа (DAG) для электромагнитных дифференциальных форм и описание аппарата дифференциальных форм. Оба графа взаимосвязи дифференциальных форм Дешампа полностью содержится в Системе Физических Плотникова Н.А. Теоремы Стокса и Гаусса, а так же операции с дифференциальными формами различного порядка так же описаны в публикации Плотникова Н.А..

В 2004 году Ismo V. Lindell [1] публикует книгу с подробным описанием аппарата дифференциальных форм и его применения к теории электромагнитного поля. Эта работа - отличное и глубокое введение в современный язык теории электромагнитного поля. Книга Ismo V. Lindell содержит последние результаты автора по исследованию сред со сложными электромагнитными свойствами. Ismo V. Lindell значительно развил аппарат математического описания физических процессов электромагнитного поля.

В последнее время, в связи с развитием вычислительных систем становиться все более актуальным использование теории дифференциальных форм для описания и методов теории дискретных дифференциальных форм для расчета электромагнитных полей [2,3]. Появляется много научных публикаций на эту тему. Это направление математической физики и вычислительного моделирования быстро развивается.

Но необходимо сказать, что ещё в 1978 году русский учёный Плотников Николай Александрович опубликовал результаты своих многолетних исследований в данной области. К сожалению, Плотников Н.А. ушёл из жизни в 2003 году. Но его достижения сохранились благодаря его работам. И до сих пор, практически, не известно наследие этого учёного у нас в стране и за рубежом. Это новая и актуальная область современной физики. Это направление физики наиболее полно было описано и изучено Плотниковым Николаем Александровичем.

Ряд современных исследователей продолжают работать в этом направлении. Так например, Анатолий Степанович Чуев создал "Система физических величин в размерности MLT (СИ)". Он опубликовал свою работу в 1999 году [10].

Теория СФВ

Система физических величин Плотникова Н.А. (СФВ) это не система физических единиц (таких как СИ и СГС). Но в основе СФВ лежит система физических единиц СИ. СФВ представляет из себя структурную схему связей физических величин. Эти связи могут описываться математическими выражениями с применением, например, аппарата дифференциальных форм.

СФВ Плотникова Н.А. и аппарат прикладной математики (например диадной алгебры, развитой Ismo V. Lindell) применяется для создания и исследования моделей физических процессов различной природы. В том числе, для исследования различных сред со сложными электромагнитными свойствами.

Использование СФВ вместе с методами теории дискретных дифференциальных форм может привести к существенному дополнению существующих алгоритмов для расчета электромагнитного поля и других физических процессов.

Граф Дешампа

Уравнения Максвелла-Фарадея и Максвелла-Ампера с использованием дифференциальных форм в трёх измерениях, следуя Дешампу, можно изобразить в виде графа

\begin{matrix} 0-forms:&&&\phi&&&&&\\ &&&{\Big\downarrow}^{-d}&&&&\\ 1-forms:&A&\longrightarrow^{-dt}&E&&&H&\\ &{\Big\downarrow}^{d}&&{\Big\downarrow}^{-d}&&&{\Big\downarrow}^{d}&\\ 2-forms:&B&\longrightarrow^{-dt}&0&D&\longrightarrow^{-dt}&J\\ &{\Big\downarrow}^{d}&&&{\Big\downarrow}^{d}&&{\Big\downarrow}^{d}&\\ 3-forms:&0&&&\rho&\longrightarrow^{-dt}&0\\ \end{matrix}

Основа "Системы физических величин" Плотникова Н.А.

Вакуум это линейная, однородная, изотропная, бесдисперсионная среда. Индукция и Напряжённость магнитного поля и Индукция и Напряжённость электрического поля связаны через магнитную и электрическую постоянные соответственно. И обозначаются через электрическая постоянная|ε0 и магнитная постоянная|μ0.


\mathbf{H} = 1 / \mu_0 \cdot \mathbf{B}
\mathbf{E} \cdot \varepsilon_0 = \mathbf{D}


Заменим электрическую и магнитную постоянные вместе со знаками равно на соответствующие стрелки и получим с учётом выражений для скорости света и волнового сопротивления вакуума.

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

и

1 / Z_0 = \varepsilon_0 \cdot c^1
\begin{matrix} {{1 \over \mu_0 } = \varepsilon_0 c^2}&\Big\vert&\vec{H}&\larr&\vec{B}&\Big\vert\\ {{1 \over \R_0 } = \varepsilon_0 c^1}&\uparrow&---&\Big\vert&---&\downarrow\\ {\mathbf{\varepsilon_a \over \varepsilon } = \varepsilon_0 c^0 }&\Big\vert&\vec{E}&\rarr&\vec{D}&\Big\vert\\ \end{matrix}

Каждая стрелка в приведённой части таблицы соответствует аналитической операции (в простейшем случае просто умножение на физические постоянные). Физические постоянные находятся в графе "Фундаментальные физические постоянные" слева. Каждая стрелка однозначно соответствует физической постоянной, которая находиться на одной горизонтальной линии со стрелкой. Стрелки направлены в сторону знака равно для соответствующих выражений. Горизонтальные стрелки аналогичны действию (дуального) Ходж стар (Hodge star) оператора * для электрического или магнитного поля. Выражение с волновым сопротивлением вакуума(характеристическое сопротивление вакуума) относится к вертикальным стрелкам.

Скалярный потенциал и плотность кванта

С учётом следующих физических формул и теоремы де Рама, продолжаем разворачивать Систему физических величин Плотникова Н.А.

Магнитная плотность энергии или магнитное давление:

\bold{P} = \bold{H} \cdot \bold{B} = |\bold{B}|^2 {1 \over \mu_0 } = |\bold{H}|^2 \mu_0

Электрическая плотность энергии или электрическое давление:

\bold{P} = \bold{E} \cdot \bold{D} = |\bold{D}|^2 {1 \over \varepsilon_0 } = |\bold{E}|^2 \varepsilon_0

Умножим и разделим правые части выражений на пространственную физическую величину \bold{l} :

\bold{P} = \bold{l} \, \bold{H} \cdot {1 \over \bold{l}} \, \bold{B}
\bold{P} = \bold{l} \, \bold{E} \cdot {1 \over \bold{l}} \, \bold{D}

Скалярный потенциал поля это:

\bold{\phi} = \bold{l} \, \bold{E}

Плотность электрического заряда:

\bold{\rho_e} = { 1 \over \bold{l}} \, \bold{D}

Магнитное напряжение или Потенциал магнитного поля:

\bold{V} = \bold{l} \, \bold{H}

Источник магнитного поля равен нулю (Монополь Дирака) :

\operatorname{div} \bold{B} = 0

Поместим в Систему физических величин рассмотренные аналитические выражения в графическом виде. Тоесть, операцию с пространственной физической величиной \bold{l} заменим на графическую, короткую, горизонтальную стрелку. Направление стрелки определим в сторону знака равенства, и против направления операции внешнего дифференцирования.

Дополнительные вертикальные и горизонтальные графы

Добавим дополнительные вертикальные и горизонтальные графы.

Над основными вертикальными графами расположена дополнительная горизонтальная графа 4. В клетке введённой графы укажем: физические величины \bold{l} - расстояние, R - радиус, \nabla - оператор Гамильтона (Гамильтониан), или векторный оператор "набла", \bold{d} \wedge - операция внешнего произведения, ← направление интегрирования по пространственной физической величине. Оператор \nabla или "набла" и \bold{d} \wedge или "клин" действуют в противоположную сторону.

Над графой 4 графически представлены дифференциальные уравнения математической физики, представленные оператором "набла" и "клин" для стационарных и переменных во времени T физических процессов.

Под графой 3 приведены теоремы Стокса, Гаусса-Острогарадского для системы СГС.

Как видно из части системы, изображённой на рисунке, граф Дешампа целиком входит в Систему физических величин. А Система физических величин Плотникова Н.А. содержит закономерности, которые отсутствуют в графе Дешампа.

В дополнительной горизонтальной графе 1 показыаны названия синергетических физических величин основных вертикальных граф.

Например: Основная вертикальная графа "Напряжённость" формируется синергетическими физическими величинами \bold{H} и \bold{E}.

В дополнительной горизонтальной графе 2 показана одна из сторон формы материи -- "характеристики поля".

В дополнительной горизонтальной графе 3 показана результирующая физическая величина, получаемая путём произведения смежных физических величин основной горизонтальной графы.

Например: Согласно формуле \bold{P} = \bold{E} \cdot \bold{D}, электрическая плотность энергии или электрическое давление это произведение \bold{E} и \bold{D}, которые и формируют основную горизонтальную графу - Электростатика.

Названия основных горизонтальных граф (Магнитостатика, Электростатика) находятся в дополнительной вертикальной графе -- Формы материи "Б".

Физические величины \mu_o, \varepsilon_0, Z_o, c,являющиеся фундаментальными физическими постоянными, формируют дополнительную вертикальную графу "А".

Список физических процессов

В СФВ два типа вертикальных линий: "Смежная линия пространственной физической величины" и "Смежная линия фундаментальных физических постоянных".

Пример линий первого типа: линии между вертикальными графами "скалярный потенциал и напряжённость", "индукция и плотность кванта". В графе 4 над такими линиями находиться клетка с оператором "набла".

Пример линий второго типа: линия между вертикальными графами "напряжённости и индукции".

И один тип горизонтальной линии: "Смежная линия времени и фундаментальных физических постоянных".

Пример: линия между основными горизонтальными графами магнитостатика и электростатика. Эта линия отражает графические связи физических величин основных горизонтальных граф с физическими процессами электродинамики (изменяющимися во времени электрическими и магнитными полями).

Физические процессы магнетизма

\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j}
\vec{\nabla} \times \vec{A} = \vec{B}
\int_S \vec{B} \, {\rm d}\vec{S} = \Phi_B
\vec{P_m} = i \,\vec{S} \, \vec{n}

Физические процессы электростатики

N = \oint_S \vec{E} \, {\rm d}\vec{S}
Q = \int_V \rho \, {\rm d}\vec{V}
\vec{\tau_q} = {Q \over l} \, \vec{n}
- \rho / \varepsilon_0 = \vec{\nabla^2} \, \phi


Аналитические выражения для связи во времени физических процессов

Законы Фарадея

Электномагнитной индукции

d \Phi = - \mathcal{E} \, {\rm d}t

Квазистационарный процесс

d \vec{A} = - \vec{E} \, {\rm d}t

Волновое уравнение
d \phi = \operatorname{div} \vec{A} c^2 d t

Плотность тока смещения в среде
d \vec{D} = \vec{j} d t

Использование дифференциальных форм

Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в трёхмерном пространстве

Запишем уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм для трёхмерного пространства. В дополнительной горизонтальной графе 2 показаны номера дифференциальных форм для трёхмерного пространства. Первая половина системы уравнений Максвелла называется уравнения Максвелла-Фарадея. При записи уравнений с использованием дифференциальных форм векторный оператор набла \nabla заменяется на операцию внешнего дифференцирования \bold{d} \wedge по пространству. Для 1-формы E, которая представлена векторной физической величиной, эта операция \bold{d} \wedge есть \operatorname{rot}. Для 2-формы В та же самая операция \bold{d} \wedge является \operatorname{div}. Получаетя уравнение для 2-формы:

\bold{d} \wedge \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{B} = 0

и уравнение для 3-формы:

\bold{d} \wedge \bold{B} = 0

Все физические величины записаны в единицах системы СИ. Из теоремы де Рама следует: 2-форма В локально может быть представлена через 1-форму A:

\bold{B} = \bold{d} \wedge \bold{A}

Тогда:

\bold{d} \wedge ( \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{A} ) = 0

Используя снова теорему де Рама, мы определяем скалярный потенциал электрического поля 0-форму \bold{\phi}. Приравниваем выражение в скобках в последней формуле -{ \bold{d} \phi} и напряжённость электрического поля, следовательно есть:

\bold{E} = - \bold{d} \phi \, - \, \partial_t \mathbf{A}

Представление полей в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала неоднозначно, так как потенциалы A и \bold{\phi } могут отличатся на любую скалярную функцию \bold{\psi}.

\phi \rarr \phi + \partial_t \psi \, , \, \bold{A} \rarr \bold{A} - \bold{d} \psi

Такое условие называется условием Лоренца. Эти уравнения не зависят от природы электромагнитной среды.

Вторая половина так называемых уранений Максвелла (впрочем сформулированных в таком виде Хевисайдом) называется уравнения Максвелла-Ампера. Вектор H заменяем на 1-форму H. Вектор D на 2-форму D. Тогда в нотации дифференциальных форм:

\bold{d} \wedge \bold{H}\, + \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J}

и уравнение для 3-формы:

\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e

В правых частях этих выражений находяться плотности. J 2-форма плотности электрического тока или плотность магнитного потенциала. \bold{\rho_e} 3-форма плотность заряда или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом

\bold{d} \wedge \bold{d} \wedge \bold{H} = 0

получим уравнение непрерывности:

\bold{d} \wedge \bold{J}\, + \, \partial_t \mathbf{\rho_e} = 0

Все выражения которые приведены выше можно представить в виде графа Десшампа (который приведён выше).

Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени

Запишем 1-форму для четырёхмерного времени-пространства.

\tau = c \, t
\bold d \tau \partial_t = {1 \over c} \, \partial_t \,
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}
\Tau = \bold t + \bold l \wedge \bold d \tau

Запишем форму для угла-скорости.

\vec{\vec{I_E^T}} = \sum_{i=1}^3 \varepsilon_i \bold e_i
\Alpha = \omega + v \wedge \bold d \tau = \vec{\vec{I_E^{(2)T}}} + \vec{\vec{{I_E^T}_\wedge^\wedge}} \, \bold d \tau \, \bold e_\tau = {1 \over 2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (\varepsilon_i \wedge \varepsilon_j )(\bold e_i \wedge \bold e_j) + \sum_{i=1}^3 ( \varepsilon_i \wedge \bold d \tau )\,( \bold e_i \wedge \bold e_\tau )

Запишем дифференциальный оператор Миньковского для четырёхмерного пространства (пространство-время).

\bold d = \bold d_E + \bold d \tau \, \partial_\tau
\bold d_E = \sum_{i=1}^3 \bold d x_i \, \partial_{x_i} = \bold d x \,\partial_x + \,\bold d y \,\partial_y + \bold d z \,\partial_z.

Запишем 2-форму для магнитного поля

\Phi = B + E \wedge \bold d \tau

Тогда уравнения Максвелла-Фарадея сведутся в одно выражение:

\bold d \wedge \Phi = 0

Запишем 3-форму источников для уравненений Максвелла-Ампера

\gamma = \rho - J \wedge \bold d \tau

Запишем 2-форму для электрического поля

\Psi = D + H \wedge \bold d \tau

Уравнение Максвелла-Ампера

\bold d \wedge \Psi = \gamma_e

Запишем 1-форму \bold \alpha \, для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре).

\Phi = \bold d \wedge \alpha = \bold d \wedge ( \alpha + \bold d \psi )

где \bold \psi \, 0-форма или скалярная функция.

\alpha = A - \phi \bold d \tau

Приведём граф Десшампа для четырёхмерного пространства-времени.

\alpha \to^d \Phi \to^d 0
\Psi \to^d \gamma \to^d 0

Запишем материальное уравнение для среды.

\Psi = \vec{\vec{M}} \, | \, \Phi

где \vec{\vec{M}} --- двухэлементный тензор(diadics).

Магнитные источники

Магнитный источник состоит из четырёхмерной 2-формы магнитного тока Jm и четырёхмерной 3-формы плотности магнитного заряда ρm:

\gamma_m = \rho_m - J_m \wedge \bold d \tau
\bold d \wedge \gamma_m = 0

По теореме де Рама магнитный четыре ток можно представить через вторую форму:

\bold d \wedge \Phi_m = \gamma_m

Это обобщение от:

\bold d \wedge \Phi = 0

При постоянных магнитных источниках Φ не может быть выражена через 1-форму \bold \alpha \, для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре):

\alpha = A - \phi \bold d \tau
\Phi \neq \bold d \wedge \alpha

В случае электрических и магнитных источников имеем:

\bold d \wedge \Psi = \gamma_e
\bold d \wedge \Phi = \gamma_m

Или что тоже самое:

\bold{d} \wedge \bold{E}\, = - \partial_\tau \mathbf{B} - \mathbf{J}_m
\bold{d} \wedge \bold{B} = \rho_m
\bold{d} \wedge \bold{H}\, = \partial_\tau \mathbf{D} - \mathbf{J}_e
\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e

Четыре 2-Формы и Четыре источники (3-формы) взаимно заменяемы (можно трансформировать одно в другое):

\Phi \leftrightarrow \Psi \, , \, \gamma_e \leftrightarrow \gamma_m

При исчезающих электрических источниках ( γe = 0 ) Ψ может быть выажена через магнитный четыре потенциал:

\Psi = \bold d \wedge \alpha_m

И соответственно:

\bold d \wedge \Psi = 0

В случае наличия электрических и магнитных источников: Поля \Phi_e \, , \, \Psi_e появляются из электрических источников γe и определяются через электрический четыре потенциал αe. Поля \Phi_m \, , \, \Psi_m появляются из магнитных источников γm и определяются через магнитный четыре потенциал αm.

Приведём выражения для суперформ.

Источники

  • [1. Lindell I. V., Differential Forms in Electromagnetics. IEEE Press, Wiley Interscience, 2004]
  • [2. http://www.llnl.gov/CASC/emsolve/pdf/cmes-paper.pdf P. Castillo, J. Koning, R. Rieben and D. White, A Discrete differential forms framework for computational electromagnetism, Computer Modeling in Engineering and Sciences, 2004, Vol 5, No 4, pp. 331-346.]
  • [3. http://www.llnl.gov/CASC/emsolve/pdf/241640.pdf Castillo P., Koning J., Rieben R., Stowell M., White D., Discrete Differential Forms: A Novel Methodology for Robust Computational Electromagnetics. California, Lawrence Livermore National Laboratory Technical Information Department's Digital Library, January 17,2003]
  • [4. Deschamps G., Electromagnetics and differential forms. IEEE Proceedings, Vol. 69, No. 6, pp. 676-687. 1981.]
  • [5. http://plotnikovna.narod.ru/ Плотников Н.А. Система физических величин. ВОИР и Вологодский Областной Совет ВОИР. Вологда. 1978., (ББК 22.3 с, УДК 53.081)]
  • [6. Кузнецов П. Г. Искусственный интеллект и разум человеческой популяции. - В кн.: Александров Е. А. Основы теории эвристических решений. - М., 1975.]
  • [7. Бартини Р. О., Кузнецов П. Г. Множественность геометрий и множественность физик. - В сб.: Моделирование динамических систем". Брянск, 1974, с. 18-29.]
  • [8. Kron G. Tensor Analysis of Networks. N. Y., 1939.]
  • [9. http://www.chuev.narod.ru/ Anatoly Chuev-персональный сайт]
  • [10. Чуев А. С. Физическая картина мира в размерности "длина-время" М., СИНТЕГ, 1999 г. с. 96]
  • [11. ignat 18:01, 19 января 2005 (UTC)]
Разделы физики
Механика | Специальная теория относительности | Общая теория относительности | Молекулярная физика | Термодинамика | Статистическая физика | Физическая кинетика | Электродинамика | Оптика | Акустика | Физика плазмы | Физика конденсированных сред | Атомная физика | Квантовая физика | Квантовая механика | Квантовая теория поля | Ядерная физика | Физика элементарных частиц | Теории «великого объединения» | Теория колебаний | Теория волн | Нелинейная динамика | Метрология | Астрофизика | Геофизика | Биофизика


Научные направления | О науке…
Гуманитарные | Социальные | Естественные | Технические | Прикладные
Математика | Физика | Химия | География | Астрономия | Биология | История | Языкознание | Филология | Философия | Психология | Социология | Антропология | Экономика | Информатика
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home