Функция Морса

Функция Морсагладкая функция на многообразии, обладающая некоторыми специальными свойствами. Функции Морса возникают и используются в теории Морса.

Определение

Пусть W ― гладкое гильбертово полное (относительно некоторой римановой метрики) многообразие (например, конечномерное), край которого \partial W является несвязным объединением (возможно, пустых) многообразий F0 и F1. Функция Морса триады (W;F0,F1) ― такая гладкая (класса C2 по Фреше) функция f: W\to [a, b], -\infty <a, b<+\infty (или f: W\to[a,\infty]) при F_1=\emptyset, что:

  1. F0 = f − 1(a),F1 = f − 1(b)
  2. все критические точки функции f лежат в W\backslash\partial W = f^{-1}(a,b) и невырождены;
  3. (условие C Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве K\subset W, где функция f ограничена, а нижняя грань функции | df(x) | равна нулю, существует критическая точка функции f.

Например, если функция f собственная, т. е. все множества f − 1([c,d]), [c,d]\subset[a,b], компактны (что возможно только при dim W<\infty), то f удовлетворяет условию С. Функция Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности многообразия W.

Если многообразие W конечномерно, то для k\ge 2 множество функция Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связ класса Ck является множеством 2-й категории (а если W компактно, то даже плотным открытым множеством) в пространстве всех функций

f:(W,F_0,F_1)\to ([a,b],a,b)

в Ck-топологии.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home