Кориолисово ускорение

Предлагается переместить содержимое этой статьи или подраздела в статью Сила Кориолиса.  (Обсудить)

Кориоли́сово ускорение — ускорение тела, возникающее в неинерциальной системе отсчёта вследствие вращения и законов инерции. Явление названо в честь Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые его описавшего.

Математическое определение

Кориолисово ускорение - это векторная величина, равная \vec{a_k}=2 \left[ \vec \omega \cdot \vec v \right], где \vec \omega – угловая скорость неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной, \vec v – линейная скорость объекта в неинерциальной системе отсчёта.

Получение

Пусть тело движется относительно системы отсчёта со скоростью \vec {v_n}, а сама система движется с линейной скоростью \vec {v_0} и угловой скоростью \vec\omega.

Тогда абсолютная скорость тела равна:

\vec v= \vec {v_0} + \left[ \vec \omega \cdot \vec R \right] + \vec {v_n}.

Продифференцировав получим:

\frac{d}{dt} \vec {v_0} = \vec { a_0 }

\frac{d}{dt} \vec {v_n} = \vec {a_n} + \left[ \vec\omega \cdot \vec {v_n} \right]

\frac{d}{dt} \left[ \vec\omega \cdot \vec R \right] = \left[ \vec e \cdot \vec R \right] + \left[ \vec\omega \cdot \frac{d}{dt} \vec R \right] = \left[ \vec e \cdot \vec R \right] + \left[ \vec\omega \cdot \vec {v_n} \right] + \left[ \vec\omega \cdot \left[ \vec\omega \cdot \vec R \right] \right], где \vec {a_n} - линейное ускорение относительно системы, \vec e - угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

\vec a=\vec {a_0} + \vec {a_n} + \left[ \vec e \cdot \vec R \right] + \left[ \vec \omega \cdot \left[ \vec \omega \cdot \vec R \right] \right] + 2\left[ \vec \omega \cdot \vec v \right] Последнее слагаемое и будут кориолисовым ускорением.

Физический смысл

Пусть тело движется со скоростью \vec v вдоль прямой к центру вращения инерциальной системы отсчёта.

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения R. И как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой.

Как мы знаем эта скорость движения равна \vec {v_e} = \left[ \vec \omega \cdot \vec R \right]

Данное изменение будет равно:

d \vec {v_e}= \left[ \vec\omega \cdot d \vec R \right]

Проведя дифференцирование, получим \vec a = \left[ \vec\omega \cdot \vec v \right]. (Направление данного ускорения перпендикулярно \vec \omega и \vec v).

C другой стороны вектор \vec v, оставшись неподвижным относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол ωdt. Или приращение скорости будет

\,\! d{v_n}=v \sin \omega dt=v \cdot \omega dt при t \rightarrow 0, соответственно второе ускорение будет:

\vec a= \left[ \vec\omega \cdot \vec v \right]

Общее ускорение будет \vec {a_k}=2 \left[ \vec\omega \cdot \vec v \right] Как видно, система осчёта не претерпела изменения угловой скорости \vec \omega Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся \vec v

Тем не менее, ускорение есть.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется \vec a = \left[ \vec\omega \cdot \vec v \right], а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home