Неравенства Морса

Неравенства Морса — вытекающие из теории Морса неравенства, связывающие число критических точек функции Морса на многообразии с его гомологическими инвариантами.

Пусть f — функция Морса на гладком n-мерном многообразии (без края) M, имеющая конечное число критических точек. Тогда группы гомологий Hk(M) конечно порождены и потому определены их ранги rk = rk(Hk(M)) и периодические ранги tk = t(Hk(M)) (периодический ранг абелевой группы A с конечным числом образующих — минимальное число циклических групп, в прямую сумму которых может быть разложена максимальная периодическая подгруппа группы A). Неравенства Морса связывают число mk критических точек функции f, имеющих Морса индекс k, с этими рангами, и имеют вид:

r_k+t_k+t_{k-1}\le m_k
\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}r_i\le\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}m_i

При k = n последнее неравенствo всегда является равенством, а значение обеих частей является эйлеровой характеристикой многообразия M.

Теорема Смейла

Согласно неравенствам Морса многообразие, имеющее «большие» группы гомологии, не допускает функций Морса с малым числом критических точек. Замечательно, что даваемые неравенствами Морса оценки точны:

На замкнутом односвязном многообразии размерности \ge 6 существует функция Морса, для которой все неравенства Морса являются равенствами.

В частности, на любом замкнутом многообразии, гомотопически эквивалентном сфере Sn с n\ge6, существует функция Морса с двумя критическими точками, откуда непосредственно следует, что многообразие гомеоморфно сфере. Аналогичное применение теоремы Смейла позволяет доказать и теоремы об h- и s-кобордизмах.

Обобщения

  • Неравенства Морса имеют место и для функций Морса триад (W,V0,V1), достаточно заменить группы Hk(M) группами относительных гомологий Hk(W,V0).
  • Аналоги неравенств Морса имеют место также для функций Морса f:X\to\R на бесконечномерных гильбертовых многообразиях и связывают.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home