Распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат
Плотность вероятности

k - число степеней свободы
Функция распределения

k - число степеней свободы
Параметры n > 0\, число степеней свободы
Носитель x \in [0; +\infty)\,
Плотность вероятности \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}\,
Функция распределения \frac{\gamma(n/2,x/2)}{\Gamma(n/2)}\,
Математическое ожидание n\,
Медиана примерно n-2/3\,
Мода n-2\, если n\geq 2\,
Дисперсия 2\,n\,
Коэффициент асимметрии \sqrt{8/n}\,
Коэффициент эксцесса 12/n\,
Информационная энтропия \frac{n}{2}\!+\!\ln\left[2\Gamma\left({n \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!\frac{n}{2}\right)\psi\left(\frac{n}{2}\right)

ψ(x) = Γ'(x) / Γ(x).

Производящая функция моментов (1-2\,t)^{-n/2}, если 2\,t<1\,
Характеристическая функция (1-2\,i\,t)^{-n/2}\,

Распределение χ2 (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.

Определение

Пусть X_1, \ldots, X_n — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: X_i \sim N(0,1). Тогда случайная величина

Y = X_1^2 + \cdots + X_n^2

имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, обозначаемое χ2(n).

Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:

\chi^2(n) \equiv \Gamma\left({1 \over 2}, {n \over 2}\right).

Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид

f_{\chi^2(n)}(x) = \frac{(1/2)^{n \over 2}}{\Gamma\left({n \over 2}\right)}\, x^{{n \over 2} - 1}\, e^{-\frac{x}{2}},

а его функция распределения

F_{\chi^2(n)}(x) = \frac{\gamma\left({n \over 2}, {x \over 2}\right)}{\Gamma\left({n \over 2}\right)},

где Γ и γ обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

  • Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если Y1,Y2 независимы, и Y_1 \sim \chi^2(n_1), а Y_2 \sim \chi^2(n_2), то
Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2).
  • Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если Y \sim \chi^2(n), то
\mathbb{E}[Y] = n,
D[Y] = 2n.
  • В силу Центральной Предельной Теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины Y \sim \chi^2(n) может быть приближено нормальным Y \approx N( n, 2n ). Более точно
\frac{Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Связь с другими распределениями

  • Если X_1 ,\ldots , X_n независимые нормальные случайные величины, то есть: X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, n, то случайная величина
Y = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)

имеет распределение хи-квадрат.

\chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(2).
  • Если Y_1 \sim \chi^2(n_1) и Y_2 \sim \chi^2(n_2), то случайная величина
F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}

имеет распределение Фишера со степенями свободы (n1,n2).


Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home