Бета распределение

Бета распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры α > 0
β > 0
Носитель x \in [0, 1]\!
Плотность вероятности \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Функция распределения I_x(\alpha,\beta)\!
Математическое ожидание \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Медиана
Мода \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! для α > 1,β > 1
Дисперсия \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Коэффициент эксцесса 6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)} {\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов 1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Характеристическая функция {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Бе́та распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности fX, имеющей вид:

f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1},

где

  • α,β > 0 произвольные фиксированные параметры, и
  • \mathrm{B}(\alpha,\beta) = \int_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}\, dxбета-функция.

Тогда случайная величина X имеет бета распределение. Пишут: X˜B(α,β).

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета распределения зависит от выбора параметров α и β.

  • \alpha < 1,\ \beta < 1 — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 или \alpha = 1,\ \beta > 1 — график строго убывающий (синяя кривая)
    • \alpha = 1,\ \beta > 2 — график строго выпуклый;
    • \alpha = 1,\ \beta = 2 — график является прямой линией;
    • \alpha = 1,\ 1 < \beta < 2 — график строго вогнутый;
  • \alpha = 1,\ \beta = 1 график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 или \alpha > 1,\ \beta \leq 1 — график строго возрастающий (зелёная кривая);
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 — график строго выпуклый;
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 — график является прямой линией;
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 — график строго вогнутый;
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда α = β, плотность вероятности симметрична относительно 1 / 2 (красная и пурпурная кривые), то есть

f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2].

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей бета распределение, имеют вид:

\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta},
\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.

Связь с другими распределениями

  • Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета распределения:
\mathrm{U}[0,1] \equiv \mathrm{B}(1,1).
\frac{X}{X+Y} \sim \mathrm{B}(\alpha, \beta) .
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home