Тригонометрические функции

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY (см. Рис. 1). Возьмём, в этой системе координат, окружность с центром в точке O и радиусом равным единице. Пусть отрезок OA поворачивается на произвольный угол α вокруг центра O.

Синусом угла α называется отношение ординаты точки A к длине отрезка OA. Обозначают \sin \alpha = \frac{OC}{OA} \,\!. Так как длина отрезка OA равна 1, то \sin \alpha = {OC}\,\!.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки A к длине отрезка OA. Обозначают \cos \alpha = \frac{OB}{OA} \,\!. Так как длина отрезка OA равна 1, то \cos \alpha = {OB}\,\!.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha = \frac{OC}{OB} \,\! или \tan\alpha\,\!. Так как {OC} = \sin \alpha; {OB} = \cos \alpha \,\!, то \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha }\,\!.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha = \frac{OB}{OC} \,\! или \cot\alpha\!\,. Так как {OC} = \sin \alpha; {OB} = \cos \alpha \,\!, то \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha = \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha }\,\!. Котангенс равен обратному значению тангенса \mathop{\mathrm{ctg}}\, = \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha} \,\!.

Секансом угла α называется отношение длины отрезка OA к абсциссе точки A. Обозначают \sec \alpha = \frac{OA}{OB} \,\!. Так как длина отрезка OA равна 1, то \sec \alpha = \frac{1}{OB}\,\!. Секанс равен обратному значению косинуса \sec = \frac{1}{ \cos \alpha} \,\!.

Косекансом угла α называется отношение длины отрезка OA к ординате точки A. Обозначают \csc \alpha = \frac{OA}{OC} \,\!. Так как длина отрезка OA равна 1, то \csc \alpha = \frac{1}{OC}\,\!. Косеканс равен обратному значению синуса \csc = \frac{1}{ \sin \alpha} \,\!.

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс этого угла не существует. Аналогично для котангенса: если синус угла равен нулю, то котангенс этого угла не существует.

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

\alpha \,\! 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2)
\sin \alpha \,\! {0} \,\! \frac{1}{2}\,\! \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\! \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! {1}\,\! {0}\,\! {-1}\,\!
\cos \alpha \,\! {1} \,\! \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\! \frac{1}{2}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\!


\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\! {0} \,\! \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\! {1}\,\! \sqrt{3}\,\! \neg \exist \,\! {0}\,\! \neg \exist \,\!
\mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\! \neg \exist \,\! \sqrt{3}\,\! {1} \,\! \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\! {0}\,\! \neg \exist \,\! {0}\,\!
\sec \alpha \,\! {1} \,\! \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\! \sqrt{2}\,\! {2}\,\! \neg \exist \,\! {-1}\,\! \neg \exist \,\!
\csc \alpha \,\! \neg \exist \,\! {2}\,\! \sqrt{2}\,\! \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\! {1}\,\! \neg \exist \,\! {-1}\,\!



Содержание

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике: a и b — катеты, c — гипотенуза. По отношению к углу α, катет b называется прилежащим, а катет a — противолежащим (см. Рис. 2).

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. \sin \alpha = \frac{a}{c} \,\!.

Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. \cos \alpha = \frac{b}{c} \,\!.

Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha = \frac{a}{b} \,\!.

Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha = \frac{b}{a} \,\!.

Из определения синуса, косинуса и тангенса следует:

a = c \sin \alpha\,\!
b = c \cos \alpha\,\!
a = b \,\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,\!

и симметрично:

b = c \sin \beta\,\!
a = c \cos \beta\,\!
b = a \,\mathop{\mathrm{tg}}\, \beta\,\!

Свойства тригонометрических функций

Функция y = cos α — чётная, функции: y = sin α, y = tg α, y = ctg α — нечётные, то есть:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha\,\!
\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha\,\!
\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,\!
\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,\!

Для острых углов \alpha < \frac{ \pi}{2}\,\! справедливо:

\sin \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha\,\!
\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,\!
\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,\!
\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,\!

Для углов 0 < \alpha < \pi \,\! справедливо:

\sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha\,\!
\cos \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha\,\!
\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,\!

Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора:

\left(AB \right)^2 + \left(BO \right)^2 = \left(OA \right)^2 \,\!,

если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \qquad \qquad (1)\,\!.

Если разделить выражение (1) на \cos^2 \alpha \,\!, то получим следующее тождество:

1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha} \qquad \qquad (2) \,\!.


Если разделить выражение (1) на \sin^2 \alpha \,\!, то получим следующее тождество:

1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha} \qquad \qquad (3) \,\!

или

1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha} \qquad \qquad (4) \,\!.

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от латинского «tangens» — касающийся) и «секанс» (лат. «secans» — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home