Математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается \mathbb{E}X или иногда \operatorname{M}X (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение μ.

Содержание

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, X:\Omega \to \mathbb{R}измеримая функция. Тогда если существует интеграл Лебега от X по пространству Ω, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается \mathbb{E}X.

\mathbb{E} X \equiv \int\limits_{\Omega} X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).

Основные формулы для математического ожидания

  • Если функция распределения FX(x) случайной величины имеет ограниченную вариацию, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, dF_X(x).

Математическое ожидание дискретного распределения

\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

\mathbb{E}X = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i.

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

\mathbb{E}X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, dx.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть X=(X_1,\ldots,X_n)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^n - случайный вектор. Тогда по определению

\mathbb{E}X = (\mathbb{E}X_1,\ldots,\mathbb{E}X_n)^{\top},

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i,

если X имеет дискретное распределение;

\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx,

если X имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение \mathbb{P}^X случайной величины X общего вида, то

\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\, \mathbb{P}^X(dx).

В специальном случае, когда g(X) = Xk, Математическое ожидание \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \mathbb{E} X^k называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание линейно, то есть
            \mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}X + b \mathbb{E}Y,
    где X,Y — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a,b\in \mathbb{R} — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если 0 \leq X \leq Y почти наверное, и Y — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того
    0 \leq \mathbb{E}X \leq \mathbb{E} Y;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X = Y почти наверное, то
    \mathbb{E}X = \mathbb{E}Y.

Дополнительные свойства математического ожидания

Примеры

\mathbb{E}X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

\mathbb{E}X = \int\limits_{a}^b \frac{1}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}.
\int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\, dx = \infty,

то есть математическое ожидание X не определено.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home