Передаточная функция

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Содержание

Линейные стационарные системы

Пусть u(t) \! — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t) \! — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s) \! такой системы записывается в виде:

W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)},

где U(s) \! и Y(s) \! — преобразования Лапласа для сигналов u(t) \! и y(t) \! соответственно:

U(s) = \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt
Y(s) = \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть y(k) \! — входной дискретный сигнал такой системы, а u(k) \! — её дискретный выходной сигнал, k = 0, 1, 2, \dots \!. Тогда передаточная функция W(z) \! такой системы записывается в виде:

W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)},

где U(z) \! и Y(z) \! — z-преобразования для сигналов u(k) \! и y(k) \! соответственно:


U(z) = \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}
Y(z) = \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k}

Связь с другими динамическими характеристиками

  • АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной s \! на j \omega \!:
W(j \omega) \equiv W(s), s = j \omega \!

Свойства передаточной функции

1. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной (s \!):

W(s) = \frac{R(s)}{Q(s)} = \frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + \dots + b_m}{a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n}

2. Знаменатель передаточной функции — это характеристический полином системы. Полюсы передаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома.

3. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции m \! не может превышать порядка ее знаменателя n \!.

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы U(t) \! до вектора выхода Y(t) \! — это матрица W = \{w_{i, j}\} \!, элемент i \!-й строки j \!-го столбца представляет собой передаточную функцию системы от i \!-й координаты вектора входа системы до j \!-й координаты вектора выхода.

См. также

Внешние ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home