Эллипс

Не следует путать с термином «Эллипсис».

Э́ллипс — (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точки M Евклидовой плоскости, для которой сумма расстояний от двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно, т. е.

| F1M | + | F2M | = C.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Содержание

Связанные определения

  • Отрезок, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна C в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Концы осей эллипса называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса.
  • Расстояние | F1F2 | называется фокальным расстоянием, а отношение e=\frac{|F_1F_2|}{C} эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса: k=\frac{b}{a}, где b — малая полуось, a — большая полуось. Величина, равная (1-k)=\frac{a-b}{a} называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением k2 = 1 − e2

Координатное представление

Для любого эллипса можно найти Декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

при 0 < ba. В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса. Зная полуоси эллипса можно вычислить фокальное расстояние и эксцентриситет:

|F_1F_2|=2\sqrt{a^2-b^2},\ e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}< 1.

Каноническое уравнение эллипса может быть легко параметризовано

\left\{\begin{matrix} x = a \cos \alpha, \\ y = b \sin \alpha \end{matrix},\right.

где \alpha\, — параметр, изменяющийся от 0\, до 2\pi\,.

Свойства

  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home